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实对称矩阵的秩

不一定满秩,实对称矩阵A币可以对角化则 P^(-1)AP=Λ r(A)=r(Λ) 若Λ的特征值有0,则,A与Λ都不满秩 所以得证

因为实对称阵相似对角阵,对角元素就是特征根,如果都非零,则秩为3了,矛盾。

实对称矩阵A是正规阵 => 存在对角阵D相似于A => rank(D) = 非零对角元(特征值)的个数 => rank(A) = rank(D) = 非零特征值的个数,证毕!

对于n阶矩阵,如果rank(A)=1,那么Ax=0的线性无关的解有n-1个,说明零至少是n-1重特征值 A的所有特征值的和是trace(A),所以余下那个可能非零的特征值就是trace(A) (你的例子是实对称的,可以对角化,所以可以知道余下的那个特征值必定不是零)

是对称矩阵的特征值都是实数,而且矩阵R为2则行列式为0 根据特征值的积为行列式的值所以必有0特征值,不然你怎么得到行列式的值为0

你好!并不一定要是对称阵,只要矩阵相似于对角阵,则秩与非0特征值个数相等。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!

不一定,例如二阶矩阵,第一行是1 1,第二行是0 0,它的秩为1,但不是对称矩阵。

可对角化的方阵的秩 等于 其非零特征值的个数 实际上, 由于A可对角化, A与 diag(λ1,...,λn) 相似 相似则秩相等, 而对角矩阵diag(λ1,...,λn)的秩显然为λ1,...,λn中非零元的个数 即A的非零特征值的个数

A^2=A说明A的特征值λ必须满足λ^2=λ,所以λ只能是0或1 注意A可对角化,此时rank(A)就是A的非零特征值个数,所以A的特征值是1,1,0

问题不难,回答如下:

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